निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,int_{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} \, dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{2} (2-x

Vedclass · Accepted Answer

$16\sqrt{2}/15$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} \, dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{2} (2-x) \sqrt{2-(2-x)} \, dx = \int_{0}^{2} (2-x) \sqrt{x} \, dx$. $I = \int_{0}^{2} (2x^{1/2} - x^{3/2}) \, dx$. प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{5/2}}{5/2} \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{0}^{2}$. सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \left( \frac{4}{3} (2)^{3/2} - \frac{2}{5} (2)^{5/2} \right) - 0$. चूंकि $(2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$ और $(2)^{5/2} = 4\sqrt{2}$ है: $I = \frac{4}{3} (2\sqrt{2}) - \frac{2}{5} (4\sqrt{2}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{5}$. हर समान करने पर: $I = \frac{40\sqrt{2} - 24\sqrt{2}}{15} = \frac{16\sqrt{2}}{15}$.

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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