न्यूट्रिनो परिकल्पना से पहले,बीटा क्षय प्रक्रिया को $n \to p + e^-$ संक्रमण माना जाता था। यदि यह सत्य होता,तो दर्शाइए कि यदि न्यूट्रॉन स्थिर अवस्था में हो,तो प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन निश्चित ऊर्जा के साथ उत्सर्जित होंगे और उनकी गणना कीजिए। प्रयोगात्मक रूप से,इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा एक विस्तृत परास में पाई गई थी।
(N/A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थिर न्यूट्रॉन की कुल ऊर्जा प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा के योग के बराबर होनी चाहिए:
$E_n = E_p + E_e$
$m_n c^2 = \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4} + \sqrt{p^2 c^2 + m_e^2 c^4}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$m_n c^2 - \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4} = \sqrt{p^2 c^2 + m_e^2 c^4}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(m_n c^2)^2 + (p^2 c^2 + m_p^2 c^4) - 2 m_n c^2 \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4} = p^2 c^2 + m_e^2 c^4$
$m_n^2 c^4 + m_p^2 c^4 - m_e^2 c^4 = 2 m_n c^2 \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4}$
पुनः वर्ग करके $p^2 c^2$ के लिए हल करने पर,हम पाते हैं कि $p$ कणों के द्रव्यमान $(m_n, m_p, m_e)$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। चूँकि $p$ निश्चित है,इसलिए ऊर्जा $E_p = \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4}$ और $E_e = \sqrt{p^2 c^2 + m_e^2 c^4}$ भी निश्चित मान होने चाहिए। यह बीटा कणों के निरंतर ऊर्जा स्पेक्ट्रम के प्रयोगात्मक अवलोकन के विपरीत है।
$E_n = E_p + E_e$
$m_n c^2 = \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4} + \sqrt{p^2 c^2 + m_e^2 c^4}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$m_n c^2 - \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4} = \sqrt{p^2 c^2 + m_e^2 c^4}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(m_n c^2)^2 + (p^2 c^2 + m_p^2 c^4) - 2 m_n c^2 \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4} = p^2 c^2 + m_e^2 c^4$
$m_n^2 c^4 + m_p^2 c^4 - m_e^2 c^4 = 2 m_n c^2 \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4}$
पुनः वर्ग करके $p^2 c^2$ के लिए हल करने पर,हम पाते हैं कि $p$ कणों के द्रव्यमान $(m_n, m_p, m_e)$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। चूँकि $p$ निश्चित है,इसलिए ऊर्जा $E_p = \sqrt{p^2 c^2 + m_p^2 c^4}$ और $E_e = \sqrt{p^2 c^2 + m_e^2 c^4}$ भी निश्चित मान होने चाहिए। यह बीटा कणों के निरंतर ऊर्जा स्पेक्ट्रम के प्रयोगात्मक अवलोकन के विपरीत है।
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