एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन को क्रमशः $(0, 0, 0)$ और $(0, 0, 1.5R)$ से एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \hat{i}$ में मुक्त किया जाता है,प्रत्येक का संवेग परिमाण $P = eBR$ है। संवेग की दिशा पर किन शर्तों के तहत कक्षाएं गैर-प्रतिच्छेदी वृत्त होंगी?

(D) इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन दोनों के लिए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{P}{eB}$ है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए दोनों कणों की गति $yz$-तल तक सीमित है।
मान लीजिए कि इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन के संवेग सदिश $yz$-तल में $y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाते हैं। वृत्ताकार कक्षाओं के केंद्र,$C_e$ और $C_p$,अपने संबंधित प्रारंभिक स्थानों से $R$ दूरी पर और संवेग सदिश के लंबवत स्थित हैं।
$(0, 0, 0)$ से शुरू होने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,जिसका संवेग $P_1$,$y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर है,केंद्र $C_e$ $(0, -R \sin \theta, R \cos \theta)$ पर है।
$(0, 0, 1.5R)$ से शुरू होने वाले पॉज़िट्रॉन के लिए,जिसका संवेग $P_2$,$y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर है,केंद्र $C_p$ $(0, -R \sin \theta, 1.5R - R \cos \theta)$ पर है।
कक्षाएं गैर-प्रतिच्छेदी होंगी यदि केंद्रों $C_e$ और $C_p$ के बीच की दूरी $d$ उनकी त्रिज्याओं के योग से अधिक हो,अर्थात $d > 2R$।
$C_e(0, -R \sin \theta, R \cos \theta)$ और $C_p(0, -R \sin \theta, 1.5R - R \cos \theta)$ के बीच की दूरी का वर्ग $d^2$ ज्ञात करने पर:
$d^2 = (0 - 0)^2 + (-R \sin \theta - (-R \sin \theta))^2 + (1.5R - R \cos \theta - R \cos \theta)^2$
$d^2 = 0 + 0 + (1.5R - 2R \cos \theta)^2$
$d^2 = (1.5R - 2R \cos \theta)^2$
गैर-प्रतिच्छेदी कक्षाओं के लिए,$d > 2R$,इसलिए $d^2 > 4R^2$:
$(1.5R - 2R \cos \theta)^2 > 4R^2$
$|1.5R - 2R \cos \theta| > 2R$
स्थिति $1$: $1.5R - 2R \cos \theta > 2R \implies -2R \cos \theta > 0.5R \implies \cos \theta < -0.25$
स्थिति $2$: $1.5R - 2R \cos \theta < -2R \implies -2R \cos \theta < -3.5R \implies \cos \theta > 1.75$ (संभव नहीं है क्योंकि $\cos \theta \le 1$)
अतः,गैर-प्रतिच्छेदी कक्षाओं के लिए शर्त $\cos \theta < -0.25$ है।