एक परीक्षण कण rho(r) = frac{K}{r^2} द्रव्यमान | vedclass

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Question

(D) $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = \frac{GM(r)}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M(r)$ त्रिज्या $r$ के भीतर निहित द्रव्यमान है।दिया गया है $\rh

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$T/R$ एक स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(D) $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = \frac{GM(r)}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M(r)$ त्रिज्या $r$ के भीतर निहित द्रव्यमान है।दिया गया है $ho(r) = \frac{K}{r^2}$,इसलिए द्रव्यमान $M(r)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:$M(r) = \int_0^r ho(x) \cdot 4\pi x^2 dx = \int_0^r \frac{K}{x^2} \cdot 4\pi x^2 dx = \int_0^r 4\pi K dx = 4\pi Kr$.गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के समीकरण में $M(r)$ का मान रखने पर:$E = \frac{G(4\pi Kr)}{r^2} = \frac{4\pi GK}{r}$.$R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान के कण के लिए,अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:$\frac{mV^2}{R} = mE = m \left( \frac{4\pi GK}{R} ight)$.इससे $V^2 = 4\pi GK$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि कक्षीय गति $V$ एक स्थिरांक है।कक्षा का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi R}{V}$ द्वारा दिया जाता है।चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $T \propto R$,जिसका अर्थ है कि $\frac{T}{R} = 	ext{स्थिरांक}$।

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