એક ટેસ્ટ પાર્ટીકલ $\rho(r) = \frac{K}{r^2}$ ઘનતા ધરાવતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરે છે. કણની કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સાચો સંબંધ ઓળખો.

એક ધૂમકેતુ સૂર્યની આસપાસ અત્યંત લંબગોળ કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. શું તેની કક્ષા દરમિયાન $(a)$ રેખીય ઝડપ,$(b)$ કોણીય ઝડપ,$(c)$ કોણીય વેગમાન,$(d)$ ગતિઊર્જા,$(e)$ સ્થિતિઊર્જા,$(f)$ કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે? ધૂમકેતુ જ્યારે સૂર્યની ખૂબ નજીક આવે ત્યારે તેના દળમાં થતો ઘટાડો અવગણો.

સ્પેસમેન ફ્રેડનું અવકાશયાન (જેનું દળ નગણ્ય છે) ગ્રહ બોબની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં છે. અવકાશયાન અને ગ્રહ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $R$ છે; અવકાશયાન અને ગ્રહ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર $2R$ છે. મહત્તમ અંતરના બિંદુએ,સ્પેસમેન ફ્રેડ $v_0$ ઝડપે મુસાફરી કરી રહ્યો છે. ત્યારબાદ તે તેના થ્રસ્ટર્સ ચાલુ કરે છે જેથી તે $2R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પ્રવેશે છે. તેની નવી ઝડપ કેટલી હશે?

ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ કેટલો હોય છે ($\text{ h}$ માં)?

એક ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ નીચી લગભગ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરી રહ્યો છે. તેની ત્રિજ્યા પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e$ જેટલી છે. તેના પર રોકેટ છોડીને,તેની ગતિની દિશામાં તેની ઝડપ ત્વરિત વધારીને $\sqrt{\frac{3}{2}}$ ગણી કરવામાં આવે છે. આના કારણે,ઉપગ્રહ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી જે મહત્તમ અંતર સુધી પહોંચે છે તે $R$ છે. $R$ નું મૂલ્ય $....R_e$ છે.

પૃથ્વી સૂર્યની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે. ભ્રમણ કરતી પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન કોના સમપ્રમાણમાં છે?