mathop {lim }limits_{n to infty } left( frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{r^2}{r^3 + n^3}$.આપણે સરવાળાને આ રીતે લખી શકીએ:$S = \mathop {\lim

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3}{\log _e}2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{r^2}{r^3 + n^3}$.આપણે સરવાળાને આ રીતે લખી શકીએ:$S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{r^2}{n^3 \left( \left( \frac{r}{n} ight)^3 + 1 ight)}$.$n$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:$S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{(r/n)^2}{1 + (r/n)^3}$.નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{1}{n} f\left( \frac{r}{n} ight) = \int_0^1 f(x) dx$,જ્યાં $f(x) = \frac{x^2}{1 + x^3}$.તેથી,$S = \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^3} dx$.ધારો કે $u = 1 + x^3$,તો $du = 3x^2 dx$,અથવા $x^2 dx = \frac{1}{3} du$.જ્યારે $x = 0, u = 1$. જ્યારે $x = 1, u = 2$.$S = \frac{1}{3} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} [\log_e u]_1^2 = \frac{1}{3} (\log_e 2 - \log_e 1) = \frac{1}{3} \log_e 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{1^2}{1^3 + n^3} + \frac{2^2}{2^3 + n^3} + \dots + \frac{n^2}{n^3 + n^3} \right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\sin \frac{3 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{n + 1}}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{{n + 2}}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{{n + 3}}{{{n^2} + {3^2}}} + \dots + \frac{1}{n}} \right) = $

ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ અને $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ જ્યાં $n=1, 2, 3, \ldots$ છે. તો,

$\int_{-1}^{2}(7 x-5) d x$ ની કિંમત સરવાળાના લક્ષ તરીકે મેળવો.

નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા દ્વારા,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module