ધારો કે S_n = sum_{k=1}^n frac{n}{n^2+kn+k^2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A,D) આપણે સરવાળાને રીમાન સરવાળા તરીકે ફરીથી લખી શકીએ: $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \f

Vedclass · Accepted Answer

$S_n < \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A,D) આપણે સરવાળાને રીમાન સરવાળા તરીકે ફરીથી લખી શકીએ: $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ ધારો કે $f(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$. કારણ કે $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે,તેથી જમણો રીમાન સરવાળો $S_n$ એ સંકલનનું ઓછું મૂલ્ય આપે છે અને ડાબો રીમાન સરવાળો $T_n$ એ વધારે મૂલ્ય આપે છે. આમ,$S_n સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_0^1 \frac{dx}{(x+1/2)^2 + 3/4} = \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} ight) ight]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} (	an^{-1}(\sqrt{3}) - 	an^{-1}(1/\sqrt{3})) = \frac{2}{\sqrt{3}} (\pi/3 - \pi/6) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$. તેથી,$S_n  \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$.

ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ અને $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ જ્યાં $n=1, 2, 3, \ldots$ છે. તો,

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\ldots+\frac{n}{(2 n-1)^{2}}\right]$ ની કિંમત ...... છે.

નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા દ્વારા,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ નું મૂલ્ય શોધો.

સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો:
$\int_{2}^{3} x^{2} d x$

નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{1^3+n^3}+\frac{2^2}{2^3+n^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right]$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module