int_0^pi frac{dx}{1 - 2acos x + a^2} = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1 - 2a\cos x + a^2}$.નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \s

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{1 - a^2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1 - 2a\cos x + a^2}$.નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi \frac{dx}{(1+a^2)(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) - 2a(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})}$$I = \int_0^\pi \frac{dx}{(1-a)^2 \cos^2 \frac{x}{2} + (1+a)^2 \sin^2 \frac{x}{2}}$અંશ અને છેદને $\cos^2 \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:$I = \int_0^\pi \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{(1-a)^2 + (1+a)^2 	an^2 \frac{x}{2}}$ધારો કે $t = 	an \frac{x}{2}$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$,એટલે કે $\sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 dt$.જ્યારે $x 	o 0, t 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \pi, t 	o \infty$.$I = \int_0^\infty \frac{2 dt}{(1-a)^2 + (1+a)^2 t^2} = \frac{2}{(1+a)^2} \int_0^\infty \frac{dt}{(\frac{1-a}{1+a})^2 + t^2}$$\int \frac{dx}{k^2 + x^2} = \frac{1}{k} 	an^{-1}(\frac{x}{k})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{2}{(1+a)^2} \cdot \frac{1+a}{1-a} [	an^{-1}(\frac{1+a}{1-a} t)]_0^\infty = \frac{2}{1-a^2} [\frac{\pi}{2} - 0] = \frac{\pi}{1-a^2}$.

$\int_0^\pi \frac{dx}{1 - 2a\cos x + a^2} = $

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{2}^{3} \frac{d x}{x^{2}-1}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{\pi /2}^{\pi} \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \, dx =$

જો $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \,d x=\frac{k}{6}$ હોય, તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = e^{-x} + 2e^{-2x} + 3e^{-3x} + \dots + \infty$ હોય,તો $\int_{\ln 2}^{\ln 3} f(x) \, dx =$

જો $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$ હોય,તો $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module