int e^{-2x} sin 3x , dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int e^{-2x} \sin 3x \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = \sin 3x

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{13} e^{-2x} [2 \sin 3x + 3 \cos 3x] + c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int e^{-2x} \sin 3x \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = \sin 3x$ और $dv = e^{-2x} \, dx$. तब $du = 3 \cos 3x \, dx$ और $v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$. $I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \int (-\frac{1}{2} e^{-2x}) (3 \cos 3x) \, dx$ $I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} \int e^{-2x} \cos 3x \, dx$. अब,$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर: माना $u = \cos 3x$ और $dv = e^{-2x} \, dx$. तब $du = -3 \sin 3x \, dx$ और $v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$. $\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \int (-\frac{1}{2} e^{-2x}) (-3 \sin 3x) \, dx$ $= -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} \int e^{-2x} \sin 3x \, dx$. इस मान को $I$ के समीकरण में रखने पर: $I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} [-\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I]$ $I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{-2x} \cos 3x - \frac{9}{4} I$ $I + \frac{9}{4} I = -\frac{1}{4} e^{-2x} [2 \sin 3x + 3 \cos 3x]$ $\frac{13}{4} I = -\frac{1}{4} e^{-2x} [2 \sin 3x + 3 \cos 3x]$ $I = -\frac{1}{13} e^{-2x} [2 \sin 3x + 3 \cos 3x] + c$.

$\int e^{-2x} \sin 3x \, dx = $

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