दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ संगति $ABC \leftrightarrow PQR$ के लिए है। $\overline{AD}$ त्रिभुज $\Delta ABC$ की माध्यिका है और $\overline{PM}$ त्रिभुज $\Delta PQR$ की माध्यिका है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AD}{PM} = \frac{AB}{PQ}.$

(N/A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ संगति $ABC \leftrightarrow PQR$ के लिए। $\overline{AD}$ और $\overline{PM}$ क्रमशः $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ की माध्यिकाएँ हैं।
सिद्ध करना है: $\frac{AD}{PM} = \frac{AB}{PQ}.$
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR,$ इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं और संगत कोण सर्वांगसम होते हैं।
$\therefore \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ और $\angle B \cong \angle Q \quad \dots (1)$
$2$. चूँकि $\overline{AD}$ और $\overline{PM}$ माध्यिकाएँ हैं,इसलिए $D,$ $BC$ का मध्य-बिंदु है और $M,$ $QR$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BC = 2BD$ और $QR = 2QM.$
$3$. इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM} \quad \dots (2)$
$4$. $\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
समीकरण $(1)$ से,$\angle B \cong \angle Q.$
समीकरण $(2)$ से,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}.$
$5$. $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABD \sim \Delta PQM.$
$6$. चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
$\therefore \frac{AD}{PM} = \frac{AB}{PQ}.$ इति सिद्धम्।