int frac{dx}{x(x^4 - 1)} का मान ज्ञात कीजिए : | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^4 - 1)}$.अंश और हर को $x^3$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^3 dx}{x^4(x^4 - 1)}$.माना $u = x^4$,तब $du = 4x^3 dx$,ज

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$\frac{1}{4}\ln \left| \frac{x^4 - 1}{x^4} \right| + C$

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(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^4 - 1)}$.अंश और हर को $x^3$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^3 dx}{x^4(x^4 - 1)}$.माना $u = x^4$,तब $du = 4x^3 dx$,जिसका अर्थ है $x^3 dx = \frac{du}{4}$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u(u - 1)}$.आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:$\frac{1}{u(u - 1)} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}$.अतः,$I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u} \right) du$.$I = \frac{1}{4} (\ln |u - 1| - \ln |u|) + C$.$I = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{u - 1}{u} \right| + C$.$u = x^4$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x^4 - 1}{x^4} \right| + C$.

$\int \frac{dx}{x(x^4 - 1)}$ का मान ज्ञात कीजिए :-

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यदि $I = \int \frac{\sin^2 x - 1}{2x \sin^2 x + \sin 2x} dx$ है,तो. . . . . $( \sin x \neq 0)$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)

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