int {frac{{dx}}{{{x^2}{{(1 + {x^4})}^{frac{3} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x^2(1+x^4)^{3/4}}$.हम कोष्ठक से $x^4$ को उभयनिष्ठ लेकर समाकलन को फिर से लिख सकते हैं:$I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot (x^4(x

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$ - \frac{{{{(1 + {x^4})}^{\frac{1}{4}}}}}{x} + C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x^2(1+x^4)^{3/4}}$.हम कोष्ठक से $x^4$ को उभयनिष्ठ लेकर समाकलन को फिर से लिख सकते हैं:$I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot (x^4(x^{-4}+1))^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3(1+x^{-4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5(1+x^{-4})^{3/4}}$.माना $t = 1+x^{-4}$.तब $dt = -4x^{-5} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{-5} dx = -\frac{1}{4} dt$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{-\frac{1}{4} dt}{t^{3/4}} = -\frac{1}{4} \int t^{-3/4} dt$.$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/4}}{1/4} + C = -t^{1/4} + C$.$t = 1+x^{-4}$ वापस रखने पर:$I = -(1+x^{-4})^{1/4} + C = -(\frac{x^4+1}{x^4})^{1/4} + C = -\frac{(1+x^4)^{1/4}}{x} + C$.

$\int {\frac{{dx}}{{{x^2}{{(1 + {x^4})}^{\frac{3}{4}}}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए। (जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है)

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