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Question

(D) दी गई सीमा को रीमान योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{r}{n} \

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$cos1 + 2sin1 - 2$

Vedclass · Answer

(D) दी गई सीमा को रीमान योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{r}{n} ight)^2 \sin \left( \frac{r}{n} ight) = \int_0^1 x^2 \sin x \, dx$ खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \sin x \, dx$ लें। तब $du = 2x \, dx$ और $v = -\cos x$ प्राप्त होता है। $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$ $\int 2x \cos x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = 2x$ और $dv = \cos x \, dx$ लेने पर: $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$ इन दोनों को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\left[ -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x ight]_0^1$ $0$ और $1$ की सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर: $= (-1^2 \cos 1 + 2(1) \sin 1 + 2 \cos 1) - (-0^2 \cos 0 + 2(0) \sin 0 + 2 \cos 0)$ $= (-\cos 1 + 2 \sin 1 + 2 \cos 1) - (0 + 0 + 2)$ $= \cos 1 + 2 \sin 1 - 2$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^3}}}\left[ {{1^2}\sin \frac{1}{n} + {2^2}\sin \frac{2}{n} + {3^2}\sin \frac{3}{n} + ....+{n^2}\sin \frac{n}{n}} \right]$ का मान क्या है?

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} dx$ का मूल्यांकन कीजिए।

$\int_{-1}^{2}(7 x-5) d x$ का मान योगफल की सीमा के रूप में ज्ञात कीजिए।

यदि $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $b > a$,तो $\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{na} + \frac{1}{na + 1} + \frac{1}{na + 2} + \dots + \frac{1}{nb} \right] = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}}\left[ {1\cos \frac{1}{{{n^2}}} + 2\cos \frac{4}{{{n^2}}} + 3\cos \frac{9}{{{n^2}}} + .... + 2n\cos 4} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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