औसत त्वरण और तात्क्षणिक त्वरण की व्याख्या कीजिए।

औसत त्वरण को एक निश्चित समयांतराल में वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत त्वरण} = \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{समयांतराल}}$
$xy$-समतल में गति कर रहे किसी वस्तु के लिए $\Delta t$ समयांतराल में औसत त्वरण $\vec{a}$,वेग में परिवर्तन और समयांतराल का अनुपात है:
$\vec{a} = \frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t} = \frac{\Delta(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})}{\Delta t} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} \hat{i} + \frac{\Delta v_y}{\Delta t} \hat{j} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$
तात्क्षणिक त्वरण,औसत त्वरण का वह सीमांत मान है जब समयांतराल शून्य की ओर अग्रसर होता है:
$\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}$
चूंकि $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$,इसलिए:
$\vec{a} = \frac{d}{dt}(v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) = \frac{dv_x}{dt} \hat{i} + \frac{dv_y}{dt} \hat{j} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$
जहाँ $a_x = \frac{dv_x}{dt}$ और $a_y = \frac{dv_y}{dt}$ है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$,त्वरण को समय के सापेक्ष स्थिति के द्वितीय अवकलज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \ddot{\vec{r}}$