एक अतिपरवलय बिंदु P(sqrt{2}, sqrt{3}) से होकर | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।चूँकि नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं,$ae = 2$,इसलिए $a^{2}e^{2} = 4$ है।संबंध $b^{

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$(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$

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(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।चूँकि नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं,$ae = 2$,इसलिए $a^{2}e^{2} = 4$ है।संबंध $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $b^{2} = 4 - a^{2}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $a^{2} + b^{2} = 4$ है।चूँकि अतिपरवलय $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से होकर गुजरता है,$\frac{2}{a^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$ है।$a^{2} = 4 - b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2}{4 - b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$ प्राप्त होता है।$b^{4} + b^{2} - 12 = 0 \Rightarrow (b^{2} + 4)(b^{2} - 3) = 0$ है।चूँकि $b^{2} > 0$,$b^{2} = 3$ है,जिससे $a^{2} = 1$ मिलता है।अतिपरवलय का समीकरण $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ है।विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$ है। अतः,यह $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$P$. $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई है	$1$. $8$
$Q$. $H$ की उत्केंद्रता है	$2$. $\frac{4}{\sqrt{3}}$
$R$. $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है	$3$. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
$S$. $H$ के नाभिलंब की लंबाई है	$4$. $4$

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