निम्नलिखित में से किस फलन का प्रतिलोम (inverse) परिभाषित नहीं किया जा सकता है? (जहाँ $[.] \to$ महत्तम पूर्णांक फलन)

मान लीजिए $f: N \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=4x^{2}+12x+15$ द्वारा परिभाषित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि $f: N \rightarrow S$,जहाँ $S$ फलन $f$ का परिसर है,व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = x^3 + 8x + 3$ है। अवकलज (derivative) का कौन सा गुण आपको यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम बनाता है कि $f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) मौजूद है?

मान लीजिए कि $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ एक एकैकी और आच्छादक फलन है जो $f(1) = a$,$f(2) = b$ और $f(3) = c$ द्वारा दिया गया है। सिद्ध कीजिए कि एक ऐसा फलन $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ का अस्तित्व है कि $g \circ f = I_X$ और $f \circ g = I_Y$ हो,जहाँ $X = \{1, 2, 3\}$ और $Y = \{a, b, c\}$ है।

$f: R \rightarrow R$,$f(x) = 4x + 3$ परिभाषित है,तो $f^{-1}(x) =$ . . . . . . .

फलन $f(x) = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$ का प्रतिलोम (inverse) ज्ञात कीजिए।