जब $20 \ g$ नैफ्थोइक एसिड $(C_{11}H_8O_2)$ को $50 \ g$ बेंजीन $(K_f = 1.72 \ K \ kg \ mol^{-1})$ में घोला जाता है,तो हिमांक में $2 \ K$ का अवनमन देखा जाता है। वांट हॉफ कारक $(i)$ है:

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}\left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक कीड़ा एक अर्धगोलाकार सतह पर बहुत धीरे-धीरे ऊपर चढ़ता है (चित्र देखें)। कीड़े और सतह के बीच घर्षण गुणांक $\mu = 1/3$ है। यदि अर्धगोलाकार सतह के केंद्र को कीड़े से जोड़ने वाली रेखा ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण बनाती है,तो $\alpha$ का अधिकतम संभव मान क्या होगा?

निम्नलिखित में से कौन सा म्यूटारोटेशन (mutarotation) नहीं दिखाता है?

$ABCD$ एक वर्ग है जिसकी भुजा $16$ इकाई है और $A$ मूलबिंदु है। यदि वर्ग $ABCD$ के परिगत वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4k(x+y)$ है,तो $k=$

बिंदु $(3,2)$ निम्नलिखित तीन परिवर्तनों से क्रमानुसार गुजरता है:
$(i)$ रेखा $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन।
(ii) $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $1$ इकाई दूरी का स्थानांतरण।
(iii) मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन।
तो,बिंदु की अंतिम स्थिति क्या होगी?