જ્યારે કોઈ પદાર્થ પૃથ્વીથી દૂર જાય છે અને પૃથ્વીની નજીક આવે છે ત્યારે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં શું ફેરફાર થાય છે?

એક પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે. જો તેની પ્રક્ષિપ્ત ગતિઊર્જા ($K$.$E$.) ગુરુત્વાકર્ષણની અસરથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ મૂલ્ય કરતાં અડધી હોય,તો તે કેટલી ઊંચાઈ સુધી પહોંચશે? ($R =$ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા)

સમાન ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા પરંતુ $M$ અને $4M$ દળ ધરાવતા બે સમાન ઘન ગોળાઓ વચ્ચેનું કેન્દ્રથી કેન્દ્રનું અંતર $6R$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. બંને ગોળાઓ સ્થિર રાખવામાં આવ્યા છે. $m$ દળના એક પદાર્થને $M$ દળના ગોળાની સપાટી પરથી બીજા ગોળાના કેન્દ્ર તરફ સીધો ફેંકવામાં આવે છે. પદાર્થ બીજા ગોળાની સપાટી સુધી પહોંચી શકે તે માટે તેની લઘુત્તમ ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર મેળવો.

$M$ દળ ધરાવતા રોકેટને પૃથ્વીની સપાટી પરથી $V$ જેટલી પ્રારંભિક ઝડપ સાથે ઉર્ધ્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ છે અને હવાના અવરોધને અવગણતા,રોકેટ દ્વારા પૃથ્વીની સપાટીથી પ્રાપ્ત કરવામાં આવતી મહત્તમ ઊંચાઈ કેટલી હશે?

બે ગ્રહોના દળ $M$ અને $16\, M$ છે અને તેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $a$ અને $2\, a$ છે. ગ્રહોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $10\, a$ છે. $m$ દળના એક પદાર્થને મોટા ગ્રહની સપાટી પરથી નાના ગ્રહ તરફ તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર ફેંકવામાં આવે છે. પદાર્થ નાના ગ્રહની સપાટી સુધી પહોંચી શકે તે માટે જરૂરી લઘુત્તમ પ્રારંભિક ઝડપ કેટલી હશે?

પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલા '$m$' દળને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલી ઊંચાઈ પર લઈ જવામાં આવે છે. જો '$R$' એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અને '$M$' એ પૃથ્વીનું દળ હોય,તો આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય કેટલું હશે?