निश्चित समाकलन intlimits_{ - frac{1}{2}}^{fra | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)$.हम जानते हैं कि $y \in [-1, 1]$ के लिए $\cos^{-1}(y) = \pi - \sin^{-1}(y)$.अतः,$f(x) = \

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$ - \frac{\pi }{2}$

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(B) माना $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)$.हम जानते हैं कि $y \in [-1, 1]$ के लिए $\cos^{-1}(y) = \pi - \sin^{-1}(y)$.अतः,$f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3) - [\pi - \sin^{-1}(4x^3 - 3x)]$.चूंकि $4x^3 - 3x = -(3x - 4x^3)$,इसलिए $\sin^{-1}(4x^3 - 3x) = \sin^{-1}(-(3x - 4x^3)) = -\sin^{-1}(3x - 4x^3)$.इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ के लिए $\sin^{-1}(3x - 4x^3) = 3\sin^{-1}x$ और $\cos^{-1}(4x^3 - 3x) = \frac{\pi}{2} + \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ होता है।अतः $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3) - (\frac{\pi}{2} + \sin^{-1}(3x - 4x^3)) = -\frac{\pi}{2}$.इसलिए,$I = \int_{-1/2}^{1/2} -\frac{\pi}{2} dx = -\frac{\pi}{2} [x]_{-1/2}^{1/2} = -\frac{\pi}{2} (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})) = -\frac{\pi}{2}$.

निश्चित समाकलन $\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\,(\,\,{{\sin }^{ - 1}}(3x - 4{x^3})\,\, - \,\,{{\cos }^{ - 1}}(4{x^3} - 3x)\,\,)\,dx} \,\,$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

समाकलन $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} dx$ का मान है

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $M=\int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} d t$ और $N=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} d t$ है,तो

$\int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{2{x^3} - 3{x^2} - x + 1}}\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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