"necessary and sufficient" शब्दों का उपयोग करके कथन "पूर्णांक $n$ विषम है यदि और केवल यदि $n^{2}$ विषम है" को फिर से लिखें। यह भी जांचें कि क्या कथन सत्य है।
(N/A) कथन "पूर्णांक $n$ विषम है यदि और केवल यदि $n^{2}$ विषम है" को इस प्रकार लिखा जा सकता है: "पूर्णांक $n$ का विषम होना $n^{2}$ के विषम होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।"
मान लीजिए $p$ कथन है: "पूर्णांक $n$ विषम है।"
मान लीजिए $q$ कथन है: "$n^{2}$ विषम है।"
$p \iff q$ की वैधता की जांच करने के लिए,हम दोनों निहितार्थों की जांच करते हैं:
$1$. यदि $p$ सत्य है,तो $n = 2k + 1$ (किसी पूर्णांक $k$ के लिए)। तब $n^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$,जो विषम है। अतः,$p \implies q$ सत्य है।
$2$. यदि $q$ सत्य है,तो हम प्रतिधनात्मक (contrapositive) का उपयोग करते हैं: यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$। तब $n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2(2k^{2})$,जो सम है। चूँकि प्रतिधनात्मक सत्य है,इसलिए $q \implies p$ सत्य है।
चूँकि $p \implies q$ और $q \implies p$ दोनों सत्य हैं,इसलिए मूल कथन सत्य है।
मान लीजिए $p$ कथन है: "पूर्णांक $n$ विषम है।"
मान लीजिए $q$ कथन है: "$n^{2}$ विषम है।"
$p \iff q$ की वैधता की जांच करने के लिए,हम दोनों निहितार्थों की जांच करते हैं:
$1$. यदि $p$ सत्य है,तो $n = 2k + 1$ (किसी पूर्णांक $k$ के लिए)। तब $n^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$,जो विषम है। अतः,$p \implies q$ सत्य है।
$2$. यदि $q$ सत्य है,तो हम प्रतिधनात्मक (contrapositive) का उपयोग करते हैं: यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$। तब $n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2(2k^{2})$,जो सम है। चूँकि प्रतिधनात्मक सत्य है,इसलिए $q \implies p$ सत्य है।
चूँकि $p \implies q$ और $q \implies p$ दोनों सत्य हैं,इसलिए मूल कथन सत्य है।
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$q$: मैं स्कूल जा रहा हूँ
$r$: मैं अपने मित्र से मिलूँगा
$s$: मैं फिल्म देखने जाऊँगा
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