इकाई सदिश a, b और c समतलीय हैं। एक इकाई सदिश | vedclass

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Question

(D) चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = 0$ है।सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(a 	imes b) 	imes (c 	imes d) = [(a 	i

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$A$ और $C$

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(D) चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = 0$ है।सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(a 	imes b) 	imes (c 	imes d) = [(a 	imes b) \cdot d]c - [(a 	imes b) \cdot c]d$ का उपयोग करने पर।चूंकि $c, a$ और $b$ के साथ समतलीय है,$[a, b, c] = (a 	imes b) \cdot c = 0$,इसलिए दूसरा पद शून्य हो जाता है।अतः,$[(a 	imes b) \cdot d]c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।माना $n, a$ और $b$ के लंबवत इकाई सदिश है। तो $a 	imes b = |a||b| \sin(30^\circ) n = (1)(1)(\frac{1}{2})n = \frac{1}{2}n$।इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2}(n \cdot d)c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।चूंकि $n$ और $d$ दोनों इकाई सदिश हैं जो $a, b, c$ के तल के लंबवत हैं,$n \cdot d = \pm 1$ होगा।यदि $n \cdot d = 1$ है,तो $\frac{1}{2}c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k \Rightarrow c = \frac{i - 2j + 2k}{3}$।यदि $n \cdot d = -1$ है,तो $-\frac{1}{2}c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k \Rightarrow c = \frac{-i + 2j - 2k}{3}$।दोनों विकल्प $A$ और $C$ मान्य हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

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किन्हीं भी शून्येतर सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के लिए,$\left[\begin{array}{lll}\bar{b} & \bar{a} \times \bar{b} & \bar{a}\end{array}\right]=$

यदि $3 \hat{i}+3 \hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$,$\hat{i}+\hat{k}$,और $\sqrt{3} \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का एक रैखिक संयोजन है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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