समाकलन int_{0}^{1} x cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$.गुणधर्म $\cot^{-1}(u) = 	an^{-1}(\frac{1}{u})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \

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$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2$

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(A) माना $I = \int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$.गुणधर्म $\cot^{-1}(u) = 	an^{-1}(\frac{1}{u})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_{0}^{1} x 	an^{-1}\left(\frac{1}{1 - x^2 + x^4}ight) dx$.हम तर्क को $\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{1 + x^2(x^2 - 1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$I = \int_{0}^{1} x \left[ 	an^{-1}(x^2) - 	an^{-1}(x^2 - 1) ight] dx$.माना $x^2 = t$,तो $2x dx = dt$,इसलिए $x dx = \frac{1}{2} dt$.जब $x=0, t=0$ और जब $x=1, t=1$.$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t - 1) dt$.दूसरे समाकलन पर $\int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(a - t) dt$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(1 - t - 1) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(-t) dt$.चूंकि $	an^{-1}(-t) = -	an^{-1}(t)$:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt$.खंडशः समाकलन करने पर: $\int 	an^{-1}(t) dt = t 	an^{-1}(t) - \int \frac{t}{1+t^2} dt = t 	an^{-1}(t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)$.$0$ से $1$ तक मान ज्ञात करने पर:$I = [1 \cdot 	an^{-1}(1) - \frac{1}{2} \ln(2)] - [0 - 0] = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$.

समाकलन $\int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$ का मान क्या है?

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यदि $F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$,जहाँ $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $F(e) = $

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+ e^{\sin x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \, dx = $

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\cos x} \,d x=$

यदि $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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