समाकलन int_{-2}^{2} frac{sin^2 x}{[frac{x}{pi | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$,जहाँ $f(x) = \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}}$.अंतराल $[-2, 2]$ और $\pi \approx 3.14$ होने के का

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(A) माना $I = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$,जहाँ $f(x) = \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}}$.अंतराल $[-2, 2]$ और $\pi \approx 3.14$ होने के कारण,$\frac{x}{\pi}$ का मान $(-\frac{2}{\pi}, \frac{2}{\pi}) \approx (-0.63, 0.63)$ के बीच है।अतः,$x \in (-2, 0)$ के लिए,$[\frac{x}{\pi}] = -1$,और $x \in [0, 2)$ के लिए,$[\frac{x}{\pi}] = 0$.हम समाकलन को विभाजित करते हैं: $I = \int_{-2}^{0} \frac{\sin^2 x}{-1 + 0.5} \, dx + \int_{0}^{2} \frac{\sin^2 x}{0 + 0.5} \, dx$.$I = \int_{-2}^{0} \frac{\sin^2 x}{-0.5} \, dx + \int_{0}^{2} \frac{\sin^2 x}{0.5} \, dx$.$I = -2 \int_{-2}^{0} \sin^2 x \, dx + 2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx$.गुणधर्म $\int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(-x) \, dx$ का उपयोग करने पर और चूँकि $\sin^2(-x) = \sin^2 x$ है:$I = -2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx + 2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx = 0$.

समाकलन $\int_{-2}^{2} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[x]$ $x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है)।

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यदि समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x}+\frac{1+\sin ^2 x}{1+e^{\sin x^{323}}}\right) d x=\frac{\pi}{4}(\pi+a)-2$ का मान है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x+4 \sin ^{2} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ और $\int_2^4 (3 - f(x)) dx = 7$ है,तो $\int_{-1}^2 f(x) dx = $

यदि $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,और $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ है,तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \limits_0^1 \frac{1}{\left(5+2 x -2 x ^2\right)\left(1+ e ^{(2-4 x)}\right)} dx =\frac{1}{\alpha} \log _{ e }\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right)$ जहाँ $\alpha, \beta > 0$,तो $\alpha^4-\beta^4$ का मान ज्ञात कीजिए:

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