निश्चित समाकलन intlimits_2^3 {left[ {sqrt {2x | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int\limits_2^3 {\left[ {\sqrt {2x - \sqrt {5(4x - 5)} } + \sqrt {2x + \sqrt {5(4x - 5)} } } \right]} \,dx$ है। यहाँ $2x \pm \sqrt{5(4x-

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$4\sqrt{2}$

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(B) माना $I = \int\limits_2^3 {\left[ {\sqrt {2x - \sqrt {5(4x - 5)} } + \sqrt {2x + \sqrt {5(4x - 5)} } } \right]} \,dx$ है। यहाँ $2x \pm \sqrt{5(4x-5)} = \frac{1}{2} (\sqrt{5(4x-5)} \pm 1)^2$ होता है। अतः,$\sqrt{2x \pm \sqrt{5(4x-5)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} |\sqrt{5(4x-5)} \pm 1|$। प्रतिस्थापन $u = \sqrt{5(4x-5)}$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{u}{10} du$ प्राप्त होता है। सीमाओं को बदलने पर,जब $x=2, u=\sqrt{15}$ और जब $x=3, u=\sqrt{35}$। $I = \int_{\sqrt{15}}^{\sqrt{35}} \frac{1}{\sqrt{2}} (u-1 + u+1) \frac{u}{10} du = \frac{1}{5\sqrt{2}} \int_{\sqrt{15}}^{\sqrt{35}} u^2 du = \frac{1}{15\sqrt{2}} [u^3]_{\sqrt{15}}^{\sqrt{35}}$। गणना करने पर अंतिम उत्तर $4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

निश्चित समाकलन $\int\limits_2^3 {\left[ {\sqrt {2x - \sqrt {5(4x - 5)} } + \sqrt {2x + \sqrt {5(4x - 5)} } } \right]} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2}$ और $\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{2A}{\pi}$ है,तो स्थिरांक $A$ और $B$ क्रमशः क्या हैं?

यदि $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1, & x \leq 1 \\ 4x^3 - 1, & x > 1 \end{cases}$ है,तो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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