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Question

(B) माना $L = \mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{{2^{\frac{x^n}{e^x}}} - {3^{\frac{x^n}{e^x}}}}{x^n}$.चूँकि किसी भी $n \in N$ के लिए $\matho

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(B) माना $L = \mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{{2^{\frac{x^n}{e^x}}} - {3^{\frac{x^n}{e^x}}}}{x^n}$.चूँकि किसी भी $n \in N$ के लिए $\mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{x^n}{e^x} = 0$,हम $u = \frac{x^n}{e^x}$ ले सकते हैं,जहाँ $x 	o \infty$ होने पर $u 	o 0$.अतः $L = \mathop {Limit}\limits_{u 	o 0} \frac{2^u - 3^u}{x^n}$.चूँकि $x^n = u \cdot e^x$,हमारे पास $L = \mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{2^u - 3^u}{u \cdot e^x} = \mathop {Limit}\limits_{u 	o 0} \left( \frac{2^u - 3^u}{u} ight) \cdot \mathop {Limit}\limits_{x 	o \infty } \frac{1}{e^x}$.मानक सीमा $\mathop {Limit}\limits_{u 	o 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln a$ का उपयोग करने पर,$\mathop {Limit}\limits_{u 	o 0} \frac{2^u - 3^u}{u} = \ln 2 - \ln 3 = \ln \left( \frac{2}{3} ight)$ प्राप्त होता है।जैसे $x 	o \infty$,$e^x 	o \infty$,इसलिए $\frac{1}{e^x} 	o 0$.अतः,$L = \ln \left( \frac{2}{3} ight) \cdot 0 = 0$.

$\mathop {Limit}\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{{\left( {{2^{{x^n}}}} \right)}^{\frac{1}{{{e^x}}}}}\,\, - \,\,{{\left( {{3^{{x^n}}}} \right)}^{\frac{1}{{{e^x}}}}}}}{{{x^n}}}\,$ (जहाँ $n \in N$) का मान है

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