int_{0}^{pi / 2} frac{sin^3 x}{sin x + cos x} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमे

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$\frac{\pi - 1}{4}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x} dx$। $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx$। सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर: $2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} dx$। $2I = \int_{0}^{\pi / 2} (1 - \sin x \cos x) dx$। $2I = \int_{0}^{\pi / 2} (1 - \frac{1}{2} \sin 2x) dx$। $2I = [x + \frac{1}{4} \cos 2x]_{0}^{\pi / 2}$। $2I = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cos \pi) - (0 + \frac{1}{4} \cos 0)$। $2I = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}) - (0 + \frac{1}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$। $I = \frac{\pi - 1}{4}$।

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ का मान क्या है?

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$I = \int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$ है,तो $I_2+I_4, I_3+I_5, I_4+I_6, \ldots$ किसमें हैं?

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