$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય,તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે અને $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ બધા $x \in (1, \infty)$ માટે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$(B)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $g$ એ $(1,2)$ પર વધતું અને $(2, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(D)$ $g$ એ $(1,2)$ પર ઘટતું અને $(2, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$2.$ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$P$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $2f(x)+1=2x(1+x)$
તો
$(A)$ $P$ અને $Q$ બંને સાચા છે
$(B)$ $P$ સાચું છે અને $Q$ ખોટું છે
$(C)$ $P$ ખોટું છે અને $Q$ સાચું છે
$(D)$ $P$ અને $Q$ બંને ખોટા છે
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

જો $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'(1/2) = \sqrt{2}$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2A}{\pi}$ હોય,તો અચળાંકો $A$ અને $B$ અનુક્રમે શોધો.

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {(t^2 + 2t + 2)dt}$ જ્યાં $x$ એ અસમતા $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$ નું સમાધાન કરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો $f(x)$ નો વિસ્તાર $[a, b]$ હોય,તો $(a + b)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)$ અને $g(x)$ એકબીજાના વ્યસ્ત વિધેયો હોય કે જેથી $f(1) = 3$ અને $f(3) = 1$ થાય,તો $\int_{1}^{3} \left( g(x) + \frac{x}{f'(g(x))} \right) dx$ ની કિંમત શોધો.