int_{0}^{1} frac{2x^2 + 3x + 3}{(x + 1)(x^2 + | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{2x^2 + 3x + 3}{(x + 1)(x^2 + 2x + 2)} dx$. आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{2x^2 + 3x + 3}{(x + 1)(x^2 + 2x + 2

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उपरोक्त सभी

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(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{2x^2 + 3x + 3}{(x + 1)(x^2 + 2x + 2)} dx$. आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{2x^2 + 3x + 3}{(x + 1)(x^2 + 2x + 2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$. गुणांकों की तुलना करने पर,$A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x+1) = 2x^2+3x+3$. $x = -1$ रखने पर,$A(1-2+2) = 2-3+3 \implies A = 2$. $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$A+B = 2 \implies B = 0$. अचर पदों की तुलना करने पर,$2A+C = 3 \implies 4+C = 3 \implies C = -1$. अतः,$I = \int_{0}^{1} (\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x^2+2x+2}) dx = \int_{0}^{1} (\frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2+1}) dx$. $I = [2 \ln|x+1| - 	an^{-1}(x+1)]_{0}^{1} = (2 \ln 2 - 	an^{-1} 2) - (2 \ln 1 - 	an^{-1} 1) = 2 \ln 2 - 	an^{-1} 2 + \frac{\pi}{4}$. चूंकि $	an^{-1} 2 + \cot^{-1} 2 = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} - 	an^{-1} 2 = \cot^{-1} 2 - \frac{\pi}{4}$. इस प्रकार,$I = 2 \ln 2 + \cot^{-1} 2 - \frac{\pi}{4}$. विकल्प $A$ और $B$ दोनों समान हैं। अतः,सही उत्तर $D$ है।

$\int_{0}^{1} \frac{2x^2 + 3x + 3}{(x + 1)(x^2 + 2x + 2)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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