वक्र y = x^2 - 4 पर स्थित किसी बिंदु की मूल ब | vedclass

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Question

(A) माना वक्र पर एक बिंदु $P(\alpha, \alpha^2 - 4)$ है। इस बिंदु की मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी $D = \sqrt{\alpha^2 + (\alpha^2 - 4)^2}$ द्वारा दी जाती

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{15}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना वक्र पर एक बिंदु $P(\alpha, \alpha^2 - 4)$ है। इस बिंदु की मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी $D = \sqrt{\alpha^2 + (\alpha^2 - 4)^2}$ द्वारा दी जाती है।$D$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(\alpha) = D^2 = \alpha^2 + (\alpha^2 - 4)^2$ को न्यूनतम करते हैं।$f(\alpha) = \alpha^2 + \alpha^4 - 8\alpha^2 + 16 = \alpha^4 - 7\alpha^2 + 16$.$\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करने पर और उसे शून्य के बराबर रखने पर:$f'(\alpha) = 4\alpha^3 - 14\alpha = 0$.$2\alpha(2\alpha^2 - 7) = 0$.इससे $\alpha = 0$ या $\alpha^2 = \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।यदि $\alpha^2 = 0$ है,तो $f(0) = 16$.यदि $\alpha^2 = \frac{7}{2}$ है,तो $f(\alpha) = (\frac{7}{2})^2 - 7(\frac{7}{2}) + 16 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = -\frac{49}{4} + 16 = \frac{15}{4}$.चूंकि $\frac{15}{4} अतः,न्यूनतम दूरी $D = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ है।

वक्र $y = x^2 - 4$ पर स्थित किसी बिंदु की मूल बिंदु से न्यूनतम दूरी क्या है?

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