ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ના બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

જો $P(\alpha, \beta)$ એ પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $9x^2 + 4y^2 = 144$ પરનું બિંદુ હોય અને $P$ આગળ વક્રના સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $S$ હોય,તો

વક્ર $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુ $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

એલિપ્સના સંગ્રહ $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ અને લંબચોરસના સંગ્રહ $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરો:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ માં અંતર્ગત સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબગોળ $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ.
તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $E_{18}$ અને $E_{19}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન નથી
$(2)$ $E_9$ માં કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $\frac{\sqrt{5}}{32}$ છે
$(3)$ $E_9$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{6}$ છે
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,દરેક ધન પૂર્ણાંક $N$ માટે

જો $P \equiv (x, y)$,$F_1 \equiv (3, 0)$,$F_2 \equiv (-3, 0)$ અને $16x^2 + 25y^2 = 400$ હોય,તો $PF_1 + PF_2$ ની કિંમત શોધો.