किसी ग्रह की सतह से किसी पिंड को फेंकने के लिए आवश्यक न्यूनतम वेग ताकि वह वापस न आए,है (ग्रह की त्रिज्या $6.4 \times 10^6 \ m$,$g = 9.8 \ m/s^2$ है)।

एक गोलाकार समान ग्रह अपनी धुरी पर घूम रहा है। इसके भूमध्य रेखा पर एक बिंदु का वेग $V$ है। ग्रह के अपनी धुरी पर घूमने के कारण,भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$,ध्रुवों पर $g$ का $1/2$ है। ग्रह पर एक कण का पलायन वेग $V$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

एक ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का आधा है और ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की एक-चौथाई है। यदि हम ग्रह से एक कृत्रिम उपग्रह भेजने की योजना बनाते हैं,तो पलायन वेग क्या होगा ($km \ s^{-1}$ में)? (पृथ्वी पर पलायन वेग $v_e = 11 \ km \ s^{-1}$)

नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन $A$ और दूसरे को कारण $R$ के रूप में लेबल किया गया है।
अभिकथन $A$: $m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} mgR$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
कारण $R$: जब किसी पिंड को पृथ्वी की सतह से अनंत तक प्रक्षेपित किया जाता है तो उसकी अधिकतम स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

एक प्रक्षेप्य को पृथ्वी की सतह से $k{v_e}$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा में अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किया जाता है। (${v_e}$ पलायन वेग है और $k < 1$ है)। यदि वायु प्रतिरोध को नगण्य माना जाए,तो पृथ्वी के केंद्र से वह अधिकतम ऊँचाई क्या होगी जहाँ तक यह जा सकता है? ($R$ = पृथ्वी की त्रिज्या)

यदि $V, R$ और $g$ क्रमशः पृथ्वी की सतह से पलायन वेग,पृथ्वी की त्रिज्या और गुरुत्वीय त्वरण को दर्शाते हैं,तो सही समीकरण है: