વિધેય $f(x) = \begin{cases} e^{2x} - 1, & x \le 0 \\ ax + \frac{bx^2}{2} - 1, & x > 0 \end{cases}$ એ કઈ કિંમતો માટે સતત અને વિકલનીય છે?

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
$f'(x)$ ચિહ્ન ચાર્ટ:
- $x < -5$ માટે,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ માટે,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ માટે,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે:

$f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ માટે નીચેના ત્રણ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ $f$ એ તમામ $x > 0$ માટે વિકલનીય છે.
$(II)$ $f$ એ $(0, 1)$ માં વધતું વિધેય છે.
$(III)$ $f$ એ $(1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તો:

નીચેના વિધાનો માટે $T$ અથવા $F$ ના પ્રારંભિક અક્ષરોનો સાચો ક્રમ આપો. જો વિધાન સાચું હોય તો $T$ અને જો ખોટું હોય તો $F$ નો ઉપયોગ કરો.
વિધાન-$1$: જો $f: R \rightarrow R$ અને $c \in R$ એવા હોય કે $f$ એ $(c - \delta, c)$ માં વધતું વિધેય હોય અને $(c, c + \delta)$ માં ઘટતું વિધેય હોય,તો $f$ ને $c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે. જ્યાં $\delta$ એ પૂરતી નાની ધન સંખ્યા છે.
વિધાન-$2$: ધારો કે $f: (a, b) \rightarrow R, c \in (a, b)$. તો $f$ પાસે $x = c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય અને નતિપરિવર્તન બિંદુ બંને ન હોઈ શકે.
વિધાન-$3$: વિધેય $f(x) = x^2 |x|$ એ $x = 0$ આગળ બે વાર વિકલનીય છે.
વિધાન-$4$: ધારો કે $f: [c - 1, c + 1] \rightarrow [a, b]$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે કે જેથી $f$ એ $c$ આગળ વિકલનીય છે અને $f'(c) \neq 0$,તો $f^{-1}$ પણ $f(c)$ આગળ વિકલનીય છે.

વિધેય $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ નું $x$ ની સાપેક્ષે $x=1$ આગળ પ્રથમ વિકલિત શું થાય?

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. તો: