નીચેની સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $7x + 6y - 2z = 0$; $3x + 4y + 2z = 0$; $x - 2y - 6z = 0$ માટે:

વિધાન $-1$: સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
ને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં $\alpha$ ની માત્ર એક કિંમત માટે શૂન્યેતર ઉકેલ છે.
વિધાન $-2$: $\alpha$ માં સમીકરણ
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
ને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં માત્ર એક ઉકેલ છે.

$k$ ની કઈ કિંમત માટે નીચેની સમીકરણ સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ મળે?
$x + ky + 3z = 0$
$3x + ky - 2z = 0$
$2x + 3y - 4z = 0$

ધારો કે $a, b, c \notin \{0, 1\}$. જો સમીકરણોની સંહતિ $\Pi_1 \equiv x+ay+az=0, \Pi_2 \equiv bx+y+bz=0, \Pi_3 \equiv cx+cy+z=0$ નો શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો સમીકરણોની સંહતિ $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ પાસે

ધારો કે $A = \{X = (x, y, z)^{T} : PX = 0 \text{ અને } x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1\}$ જ્યાં $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & 9 & -1 \end{bmatrix}$,તો ગણ $A$:

જો $p, q, r$ એ $3$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય જે શ્રેણિક સમીકરણ $[p, q, r] \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = [3, 0, 1]$ નું સમાધાન કરે છે,તો $2p + q - r$ ની કિંમત શોધો.