समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ को समाहित करता है और रेखाओं $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है।

समतलों $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 1$ और $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले और रेखाओं $L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-1}{-1}$ और $L_2: \frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-1}$ दोनों के लंबवत समतल से बिंदु $(-1, -2, -1)$ की दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\pi_1$ वह समतल है जो सदिशों $\bar{i}+\bar{j}$ और $\bar{i}+\bar{k}$ द्वारा निर्धारित होता है,और $\pi_2$ वह समतल है जो सदिशों $\bar{j}-\bar{k}$ और $\bar{k}-\bar{i}$ द्वारा निर्धारित होता है। मान लीजिए $\bar{a}$ समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर एक गैर-शून्य सदिश है। यदि $\bar{b}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ है,तो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$ पर स्थित बिंदुओं से समतल $x+y+z=3$ पर लंब डाले गए हैं। लंबपाद जिस रेखा पर स्थित हैं,वह रेखा है:

मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $x = 2y = 3z$ के लंबवत समतल का समीकरण क्या है?