समीकरण $y = \sin \,x \sin \,(x + 2) - \sin^2 \,(x + 1)$ एक सीधी रेखा को दर्शाता है जो स्थित है

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $-\frac{\pi}{4} < \beta < 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$। यदि $\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{3}$ और $\cos (\alpha-\beta) = \frac{2}{3}$ है,तो $\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \beta} + \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}\right)^2$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha = 3 + 4 + 8 + 9 + 13 + 14 + \dots$ $40$ पदों तक है। यदि $(\tan \beta)^{1020}$ समीकरण $x^2 + x - 2 = 0$ का एक मूल है,जहाँ $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$,तो $\sin^2 \beta + 3 \cos^2 \beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $y^2+z^2=a y z$,$z^2+x^2=b x z$,और $x^2+y^2=c x y$ है,तो $\frac{x z}{y^2}+\frac{y^2}{z x}$ का मान क्या है?

ध्यान दें कि,किसी भी क्षण,घड़ी की मिनट और घंटे की सुइयां अपने बीच दो कोण बनाती हैं जिनका योग $360^{\circ}$ होता है। $6:15$ बजे इन दो कोणों के बीच का अंतर $....^{\circ}$ है।

यदि किसी $x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ के लिए $\cot x = \frac{5}{12}$ है,तो $\sin 7x(\cos \frac{13x}{2} + \sin \frac{13x}{2}) + \cos 7x(\cos \frac{13x}{2} - \sin \frac{13x}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।