वह अभिलक्षणिक दूरी जिस पर क्वांटम गुरुत्वाकर्षण प्रभाव महत्वपूर्ण होते हैं,जिसे प्लांक लंबाई कहा जाता है,उसे मूलभूत भौतिक नियतांकों $G, h$ और $c$ के उपयुक्त संयोजन से निर्धारित किया जा सकता है। निम्नलिखित में से कौन सा सही रूप से प्लांक लंबाई को दर्शाता है?

यदि $P, Q$ और $R$ अलग-अलग विमाओं वाली भौतिक राशियाँ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा संयोजन कभी भी एक सार्थक राशि नहीं हो सकता है?

बल $F$ को समय $t$ और विस्थापन $x$ के संदर्भ में समीकरण $F = A \cos(Bx) + C \sin(Dt)$ द्वारा दिया गया है। $\frac{AD}{B}$ का विमीय सूत्र क्या है?

समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ में,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$T$ तापमान है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $a$ तथा $b$ नियतांक हैं। $a$ की विमाएँ क्या हैं?

समान संख्या में इलेक्ट्रॉनों और धनात्मक आयनों के घने संग्रह को उदासीन प्लाज्मा कहा जाता है। मुक्त इलेक्ट्रॉनों से घिरे निश्चित धनात्मक आयनों वाले कुछ ठोस पदार्थों को उदासीन प्लाज्मा के रूप में माना जा सकता है। मान लीजिए $N$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है, प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। जब इलेक्ट्रॉनों पर एक विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है, तो वे भारी धनात्मक आयनों से अपेक्षाकृत दूर विस्थापित हो जाते हैं। यदि विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है, तो इलेक्ट्रॉन धनात्मक आयनों के चारों ओर एक प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_p$ के साथ दोलन करना शुरू कर देते हैं, जिसे प्लाज्मा आवृत्ति कहा जाता है। दोलनों को बनाए रखने के लिए, एक समय-परिवर्ती विद्युत क्षेत्र को लागू करने की आवश्यकता होती है जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega$ हो, जहाँ ऊर्जा का एक हिस्सा अवशोषित हो जाता है और एक हिस्सा परावर्तित हो जाता है। जैसे ही $\omega$, $\omega_p$ के करीब पहुंचता है, सभी मुक्त इलेक्ट्रॉन एक साथ अनुनाद में आ जाते हैं और सारी ऊर्जा परावर्तित हो जाती है। यह धातुओं की उच्च परावर्तकता की व्याख्या है।
$1.$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश को $e$ और पारगम्यता (permittivity) को $\varepsilon_0$ मानते हुए, $\omega_p$ के लिए सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए आयामी विश्लेषण का उपयोग करें।
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ उस तरंगदैर्ध्य का अनुमान लगाएं जिस पर $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ इलेक्ट्रॉन घनत्व वाली धातु के लिए प्लाज्मा परावर्तन होगा। $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ और $m \approx 10^{-30}$ लें, जहाँ ये राशियाँ उचित $SI$ इकाइयों में हैं।
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।

$\eta$ श्यानता गुणांक वाले द्रव का आयतन $V$,जो $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई वाली नली से प्रति सेकंड बह रहा है,जिसके सिरों पर दाबांतर $P$ है,के लिए विमीय रूप से सुसंगत संबंध है: