ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેના સાબિત કરો:
$3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$
$3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$
(N/A) ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$LHS$ = $3 \times 6 = 18$. $RHS$ = $3(1)(1 + 1)(1 + 2) = 3 \times 2 \times 3 = 18$. $LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $3 \times 6 + 6 \times 9 + \ldots + (3k)(3k + 3) = 3k(k + 1)(k + 2)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k + 1)$ સત્ય છે,એટલે કે $3 \times 6 + \ldots + (3k)(3k + 3) + (3(k + 1))(3(k + 1) + 3) = 3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
ધારણાની બંને બાજુએ $(3(k + 1))(3(k + 1) + 3)$ ઉમેરતા:
$LHS$ = $3k(k + 1)(k + 2) + (3k + 3)(3k + 6)$
= $3k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1) \times 3(k + 2)$
= $3(k + 1)(k + 2) [k + 3]$
= $3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
આમ,$P(k + 1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$LHS$ = $3 \times 6 = 18$. $RHS$ = $3(1)(1 + 1)(1 + 2) = 3 \times 2 \times 3 = 18$. $LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $3 \times 6 + 6 \times 9 + \ldots + (3k)(3k + 3) = 3k(k + 1)(k + 2)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k + 1)$ સત્ય છે,એટલે કે $3 \times 6 + \ldots + (3k)(3k + 3) + (3(k + 1))(3(k + 1) + 3) = 3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
ધારણાની બંને બાજુએ $(3(k + 1))(3(k + 1) + 3)$ ઉમેરતા:
$LHS$ = $3k(k + 1)(k + 2) + (3k + 3)(3k + 6)$
= $3k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1) \times 3(k + 2)$
= $3(k + 1)(k + 2) [k + 3]$
= $3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
આમ,$P(k + 1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.
Explore More
Similar Questions
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Difficult
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$
Difficult
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિત કરો:
$a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n-1} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$
$a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n-1} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$
Medium
View Solutionઆપેલ ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ અને ${U_0} = 2$,${U_1} = 3$ હોય,તો તમામ $n \in N$ માટે ${U_n}$ ની કિંમત શોધો.
Medium
View Solutionજો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $n^{3}+2n$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo