સાબિત કરો કે સમબાજુ ત્રિકોણ સિવાયના કોઈપણ ત્રિકોણમાં,સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણાના $\frac{2}{3}$ ભાગ કરતાં મોટો હોય છે.
(N/A) આપેલ છે: એક ત્રિકોણ $ABC$,જે સમબાજુ ત્રિકોણ નથી. ધારો કે $BC$ સૌથી મોટી બાજુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A > \frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$BC$ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$BC > AB \Rightarrow \angle A > \angle C$ ..... $(1)$ [કારણ કે ત્રિકોણમાં મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે]
$BC > AC \Rightarrow \angle A > \angle B$ ..... $(2)$ [કારણ કે ત્રિકોણમાં મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે]
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle A + \angle A > \angle B + \angle C$
$2\angle A > \angle B + \angle C$
બંને બાજુ $\angle A$ ઉમેરતા:
$2\angle A + \angle A > \angle A + \angle B + \angle C$
$3\angle A > 180^{\circ}$ [ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ]
$\angle A > \frac{180^{\circ}}{3}$
$\angle A > 60^{\circ}$
કારણ કે $60^{\circ} = \frac{2}{3} \times 90^{\circ}$,તેથી $\angle A > \frac{2}{3}$ કાટખૂણો.
આમ,સાબિત થાય છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A > \frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$BC$ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$BC > AB \Rightarrow \angle A > \angle C$ ..... $(1)$ [કારણ કે ત્રિકોણમાં મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે]
$BC > AC \Rightarrow \angle A > \angle B$ ..... $(2)$ [કારણ કે ત્રિકોણમાં મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે]
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle A + \angle A > \angle B + \angle C$
$2\angle A > \angle B + \angle C$
બંને બાજુ $\angle A$ ઉમેરતા:
$2\angle A + \angle A > \angle A + \angle B + \angle C$
$3\angle A > 180^{\circ}$ [ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ]
$\angle A > \frac{180^{\circ}}{3}$
$\angle A > 60^{\circ}$
કારણ કે $60^{\circ} = \frac{2}{3} \times 90^{\circ}$,તેથી $\angle A > \frac{2}{3}$ કાટખૂણો.
આમ,સાબિત થાય છે.
Explore More
Similar Questions
$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{RQ} = \frac{AC}{PR} = 1$ હોય,તો $\Delta ABC \cong \Delta \ldots \ldots \ldots$
Easy
View Solution$\Delta PQR$ માં $\angle P = 40^{\circ}$ અને $\angle R = 80^{\circ}$ આપેલ હોય,તો તેની બાજુઓના માપને ચડતા ક્રમમાં લખો.
Medium
View Solution$ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ અને ખૂણા $C$ નો દ્વિભાજક બાજુ $AB$ ને $D$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $AC + AD = BC$.
Difficult
View Solution$ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ અને $D$ એ $BC$ પરનું એક બિંદુ છે જેથી $AD \perp BC$ થાય. $\angle BAD = \angle CAD$ સાબિત કરવા માટે,એક વિદ્યાર્થીએ નીચે મુજબની પ્રક્રિયા કરી:
$\triangle ABD$ અને $\triangle ACD$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે)
$\angle B = \angle C$ (કારણ કે $AB = AC$)
અને $\angle ADB = \angle ADC$
તેથી,$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ $(AAS)$
તેથી,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$
ઉપરોક્ત તર્કમાં શું ખામી છે?
$\triangle ABD$ અને $\triangle ACD$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે)
$\angle B = \angle C$ (કારણ કે $AB = AC$)
અને $\angle ADB = \angle ADC$
તેથી,$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ $(AAS)$
તેથી,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$
ઉપરોક્ત તર્કમાં શું ખામી છે?
Medium
View Solutionત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ $5\, cm$ અને $1.5\, cm$ છે. તો ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કેટલી ન હોઈ શકે ($cm$ માં)?
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo