સંપર્કમાં રાખેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ મેળવો.

(N/A) ધારો કે $f_{1}$ અને $f_{2}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે લેન્સ $A$ અને $B$ એકબીજાના સંપર્કમાં રાખેલા છે. ધારો કે વસ્તુને પ્રથમ લેન્સ $A$ ના મુખ્ય કેન્દ્રની બહાર બિંદુ $O$ પર મૂકવામાં આવી છે.
પ્રથમ લેન્સ $I_{1}$ પર પ્રતિબિંબ રચે છે. $I_{1}$ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ હોવાથી,તે બીજા લેન્સ $B$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે અંતિમ પ્રતિબિંબ $I$ પર રચે છે.
પ્રથમ લેન્સ દ્વારા પ્રતિબિંબની રચના માત્ર અંતિમ પ્રતિબિંબનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે ધારવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં,પ્રથમ લેન્સમાંથી બહાર આવતા કિરણોની દિશા તે બીજા લેન્સ પર જે ખૂણે આપાત થાય છે તેના આધારે બદલાય છે.
લેન્સ પાતળા હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટર એકબીજા પર સંપાત થાય છે. આ કેન્દ્રબિંદુને $P$ તરીકે દર્શાવો.
પ્રથમ લેન્સ $A$ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબ માટે:
$\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{1}} \quad \dots (1)$
બીજા લેન્સ $B$ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબ માટે:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{f_{2}} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} \quad \dots (3)$
જો બે લેન્સની સિસ્ટમને $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા એક જ લેન્સ તરીકે ગણવામાં આવે,તો આપણને મળે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$
આ તારણ સંપર્કમાં રહેલા કોઈપણ સંખ્યાના પાતળા લેન્સ માટે માન્ય છે. જો $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \dots, f_{n}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અનેક પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં હોય,તો તેમના સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{f_{3}} + \dots + \frac{1}{f_{n}}$