$HOSTEL$ થી $ALLEN$ સુધીના સૌથી ટૂંકા માર્ગોની સંખ્યા (આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ) કેટલી છે?

ધારો કે $n \geq 2$ એક પૂર્ણાંક છે. એક વર્તુળ પર $n$ ભિન્ન બિંદુઓ લો અને દરેક બિંદુઓની જોડીને રેખાખંડ દ્વારા જોડો. દરેક પાસપાસેના બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને વાદળી રંગથી અને બાકીનાને લાલ રંગથી રંગો. જો લાલ અને વાદળી રેખાખંડોની સંખ્યા સમાન હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શું છે?

ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC, CA$ પર અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ બિંદુઓ આવેલા છે. આ બિંદુઓનો શિરોબિંદુ તરીકે ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક સમતલમાં $n$ સીધી રેખાઓ છે,જેમાંથી કોઈ પણ બે સમાંતર નથી અને કોઈ પણ ત્રણ એક જ બિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. તેમના છેદબિંદુઓને જોડવામાં આવે છે. તો આ રીતે મેળવેલી નવી રેખાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ બનાવતી સમાંતર રેખાઓના બે સેટમાંથી દરેક સેટમાં $m$ સમાંતર રેખાઓ હોય,તો કુલ કેટલા સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ બનશે?

$3$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ એક બેન્ચ પર એવી રીતે બેસી શકે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ પાસપાસે ન હોય,તે રીતે બેસવાની કુલ રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?