$HOSTEL$ થી $ALLEN$ સુધીના સૌથી ટૂંકા માર્ગોની સંખ્યા (આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ) કેટલી છે?

$3$ તાલીમાર્થીઓ,$4$ પ્રોફેસરો અને $6$ સંશોધન સહાયકોમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો સમિતિમાં $2$ તાલીમાર્થીઓ અને $3$ સંશોધન સહાયકો હોવા જોઈએ,તો આ કેટલા અલગ અલગ રીતે કરી શકાય?

જો અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય હોય,તો $1, 2, 3, 4, 5$ અને $8$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $2$ અંકની કેટલી એકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

'$OPTICAL$' શબ્દના અક્ષરોને કેટલી અલગ અલગ રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી સ્વરો હંમેશા સાથે આવે?

Rs. $100$ ની $4$ નોટો અને Rs. $1$,Rs. $2$,Rs. $5$,Rs. $20$ અને Rs. $50$ ની અન્ય $5$ નોટો છે. આ નોટોને $3$ બાળકો વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની છે કે જેથી દરેક બાળકને ઓછામાં ઓછી એક Rs. $100$ ની નોટ મળે. વહેંચણીની કુલ રીતો શોધો.

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી $5$ અંકની એવી સંખ્યાઓ કેટલી છે જેમાં $1$ અને $2$ બંનેનો સમાવેશ થતો હોય?