$3x - 4y + 1 = 0$ અને $12x + 5y - 1 = 0$ રેખાઓને સ્પર્શતા વર્તુળોના કેન્દ્રોનો બિંદુપથ શું છે?

એક બિંદુ $P(x, y)$ એવું છે કે તેના યામ અક્ષોથી અંતરના વર્ગોનો સરવાળો એ રેખા $x-y=1$ થી તેના અંતરના વર્ગ જેટલો છે. તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

જો કોઈ બિંદુના ઉગમબિંદુ અને રેખા $x = 2$ થી અંતરનો સરવાળો $4$ હોય,તો તેનો બિંદુપથ શું થાય?

ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ પર દોરેલા લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ વર્તુળ $S$ છે. તો $S$ ને દોરેલા સ્પર્શકનું સમીકરણ જે રેખા $6x-4y+k=0$ ને લંબ હોય તે શોધો.

એક નક્કર અર્ધગોલકને નળાકારની ઉપરના ભાગે જોડવામાં આવે છે,જેની ત્રિજ્યા નળાકારની ત્રિજ્યા જેટલી જ છે. જો નળાકારની ઊંચાઈ બમણી કરવામાં આવે (બંને ત્રિજ્યા અચળ રાખીને),તો સમગ્ર સિસ્ટમનું કદ $50\,\%$ વધી જશે. જો અર્ધગોલક અને નળાકારની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે (ઊંચાઈ અચળ રાખીને),તો કદમાં કેટલા ટકાનો વધારો થશે ($,\%$ માં)?

એક ચલ વર્તુળનું કેન્દ્ર જે વર્તુળો $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 1 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 1 = 0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે,તેનો બિંદુપથ શોધો.