मान लीजिए कि किसी बिंदु P(x, y) पर वक्र की स् | vedclass

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Question

(C) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ प्राप्त होता

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{18}{19}$

Vedclass · Answer

(C) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ प्राप्त होता है।$y^2$ से भाग देने पर,$y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^{-1} = 1$ प्राप्त होता है।माना $v = y^{-1}$,तो $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$।इसे समीकरण में रखने पर,$-\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = 1$,या $\frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = -1$ प्राप्त होता है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।हल $v \cdot x = \int (-1) \cdot x dx + C = -\frac{x^2}{2} + C$ है।चूंकि $v = \frac{1}{y}$,इसलिए $\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।वक्र रेखा $x + 2y = 4$ को $x = -2$ पर काटता है,इसलिए $y$ ज्ञात करने के लिए $x = -2$ रखने पर: $-2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$।वक्र $(-2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{-2}{3} = -\frac{(-2)^2}{2} + C \Rightarrow -\frac{2}{3} = -2 + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$।अतः,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}$ है।बिंदु $(3, y)$ के लिए,$\frac{3}{y} = -\frac{3^2}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{9}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{19}{6}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$y = -\frac{18}{19}$।

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