मान लीजिए कि alpha और beta समीकरण px^2 + qx + | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं,अतः $\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha\beta = \frac{r}{p}$।चूंकि

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$\frac{2\sqrt{13}}{9}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं,अतः $\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha\beta = \frac{r}{p}$।चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2q = p + r$।$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = 4$,यानी $\alpha + \beta = 4\alpha\beta$।मान रखने पर,$-\frac{q}{p} = 4(\frac{r}{p}) \Rightarrow q = -4r$।$2q = p + r$ में मान रखने पर,$2(-4r) = p + r$ $\Rightarrow -8r = p + r$ $\Rightarrow p = -9r$।अब,$\alpha + \beta = -\frac{-4r}{-9r} = -\frac{4}{9}$ और $\alpha\beta = \frac{r}{-9r} = -\frac{1}{9}$।सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ का उपयोग करने पर,$(\alpha - \beta)^2 = (-\frac{4}{9})^2 - 4(-\frac{1}{9}) = \frac{16}{81} + \frac{4}{9} = \frac{16 + 36}{81} = \frac{52}{81}$।अतः,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{52}{81}} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$।

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