मान लीजिए vec{p} = 2hat{i} + 3hat{j} + ahat{k | vedclass

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Question

(A) चूंकि $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $\left[\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}\right] = 0$. यह सारणिक द्वारा

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$(1, 3)$ या $(13, 9)$

Vedclass · Answer

(A) चूंकि $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $\left[\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}ight] = 0$. यह सारणिक द्वारा दिया गया है: $\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & a \ b & 5 & -1 \ 1 & 1 & 3 \end{array}ight| = 0$. सारणिक का विस्तार करने पर: $2(15 - (-1)) - 3(3b - (-1)) + a(b - 5) = 0$ $2(16) - 3(3b + 1) + ab - 5a = 0$ $32 - 9b - 3 + ab - 5a = 0$ $ab - 5a - 9b + 29 = 0$ (समीकरण $1$)। दिया गया है $\vec{p} \cdot \vec{q} = 20$: $(2\hat{i} + 3\hat{j} + a\hat{k}) \cdot (b\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) = 20$ $2b + 15 - a = 20$ $2b - a = 5 \Rightarrow a = 2b - 5$ (समीकरण $2$)। $a = 2b - 5$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(2b - 5)b - 5(2b - 5) - 9b + 29 = 0$ $2b^2 - 5b - 10b + 25 - 9b + 29 = 0$ $2b^2 - 24b + 54 = 0$ $b^2 - 12b + 27 = 0$ $(b - 3)(b - 9) = 0$। अतः,$b = 3$ या $b = 9$। यदि $b = 3$ है,तो $a = 2(3) - 5 = 1$। यदि $b = 9$ है,तो $a = 2(9) - 5 = 13$। इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a, b)$ $(1, 3)$ और $(13, 9)$ हैं।

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