मान लीजिए f(x) = begin{cases} a sin(x + b) & | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) \implies 6(0)^7 - 0 + 1 = a \sin(b) \imp

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$2$

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(B) $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) \implies 6(0)^7 - 0 + 1 = a \sin(b) \implies a \sin b = 1$. साथ ही,$x = 0$ पर बायां अवकलज और दायां अवकलज समान होना चाहिए। $f'(x) = \begin{cases} a \cos(x + b) & x > 0 \ 42x^6 - 1 & x $x = 0$ पर अवकलजों की तुलना करने पर: $a \cos b = -1$. दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $(a \sin b)^2 + (a \cos b)^2 = 1^2 + (-1)^2 \implies a^2(\sin^2 b + \cos^2 b) = 2 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$. स्थिति $I$: यदि $a = \sqrt{2}$ है,तो $\sin b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$। यह $b = \frac{3\pi}{4}$ के संगत है। स्थिति $II$: यदि $a = -\sqrt{2}$ है,तो $\sin b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos b = \frac{1}{\sqrt{2}}$। यह $b = \frac{7\pi}{4}$ के संगत है। अतः,क्रमित युग्म $(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})$ और $(-\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})$ हैं। ऐसे कुल $2$ क्रमित युग्म हैं।

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