मान लीजिए f(x) = begin{cases} x sin left( fra | vedclass

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Question

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \

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$x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं

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(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} ight)} ight)$.चूँकि $|\sin 	heta| \leq 1$,हमारे पास $|f(x)| = |x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} ight)} ight)| \leq |x \sin \left( \frac{1}{x} ight)| \leq |x|$ है।जैसे $x 	o 0$,$|x| 	o 0$,इसलिए स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x 	o 0} f(x) = 0 = f(0)$ है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)}{h} = \lim_{h 	o 0} \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)$ का मान ज्ञात करते हैं।मान लीजिए $g(h) = \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)$ है। जैसे $h 	o 0$,$\sin \left( \frac{1}{h} ight)$ $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है। पद $\frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)}$ भी दोलन करता है और मनमाने ढंग से बड़े मान लेता है,जिससे दूसरा साइन पद भी दोलन करता है। अतः,सीमा का अस्तित्व नहीं है।इसलिए,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. तो $f(x)$ है:

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\log 10 + \log(0.1 + 2x)}{2x} & x \neq 0 \\ k & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है,तो $k + 2 = $

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} a^2 \cos ^2 x+b^2 \sin ^2 x, & x \leq 0 \\ e^{ax+b}, & x>0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यह एक सतत फलन है,तो:

मान लीजिए $S_n = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \ldots$ ($n$ पद) और $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$ है। यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = f(x)$ है,तो $f(x)$ बिंदु $x =$ पर असंतत है।

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ne 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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