एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A = 2x - 10^{\circ}$ और $\angle C = 3x - 35^{\circ}$ है,तो $\angle A =$ .......... ($^{\circ}$ में)

एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में $AB = AC$ है। $B$ और $C$ से होकर जाने वाला एक वृत्त भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $XY \parallel BC$ है।

यदि $BM$ और $CN$ त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AC$ और $AB$ पर खींचे गए शीर्षलंब (altitudes) हैं,तो सिद्ध कीजिए कि बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय (concyclic) हैं।

एक वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{2} \text{ cm}$ है। यह $2 \text{ cm}$ लंबाई की एक जीवा द्वारा दो वृत्तखंडों में विभाजित होता है। सिद्ध कीजिए कि दीर्घ वृत्तखंड में स्थित किसी बिंदु पर जीवा द्वारा अंतरित कोण $45^{\circ}$ है।

सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
एक वृत्त की जीवा द्वारा किन्हीं भी दो बिंदुओं पर अंतरित कोण बराबर होते हैं।

$AB$ केंद्र $P$ वाले एक वृत्त की जीवा है। बिंदु $C$,दीर्घ चाप $AB$ पर $A$ और $B$ के अलावा एक बिंदु है। यदि $\angle ACB + \angle APB = 135^{\circ}$ है,तो $\angle ACB$ और $\angle APB$ ज्ञात कीजिए।