આકૃતિમાં,$ABC$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં $\angle BCA = 2 \angle BAC$ છે. સાબિત કરો કે કર્ણ $AC = 2 BC$ છે.

(N/A) $CB$ ને બિંદુ $D$ સુધી લંબાવો જેથી $BC = BD$ થાય અને $AD$ ને જોડો.
$\Delta ABC$ અને $\Delta ABD$ માં:
$BC = BD$ (રચના મુજબ)
$AB = AB$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle ABC = \angle ABD = 90^{\circ}$ (આપેલ છે અને રચના મુજબ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ થાય.
તેથી,$CPCT$ મુજબ $\angle CAB = \angle DAB$ થાય. ધારો કે $\angle BAC = x$,તો $\angle CAB = x$ અને $\angle DAB = x$.
આમ,$\angle CAD = \angle CAB + \angle BAD = x + x = 2x$.
$\angle BCA = 2 \angle BAC$ હોવાથી,અને $\angle BAC = x$ હોવાથી,$\angle BCA = 2x$ થાય.
$\Delta ACD$ માં,$\angle CAD = 2x$ અને $\angle ACD = 2x$ છે.
બે ખૂણા સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન હોય,તેથી $AC = CD$ થાય.
વળી,$\Delta ABC \cong \Delta ABD$ હોવાથી,$CPCT$ મુજબ $AC = AD$ થાય.
તેથી,$\angle ADC = \angle ACD = 2x$ થાય.
$\Delta ACD$ ના ત્રણેય ખૂણા $60^{\circ}$ હોવાથી $(2x + 2x + 2x = 180^{\circ} \implies x = 30^{\circ})$,$\Delta ACD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$AC = CD = AD$ થાય.
$CD = BC + BD$ અને $BC = BD$ હોવાથી,$CD = BC + BC = 2BC$ થાય.
આમ,$AC = 2BC$ સાબિત થાય છે.