જો સમીકરણોની સંહતિ $x + y + z = 6$,$x + 2y + 3z = 10$,અને $x + 2y + \lambda z = 0$ ને અનન્ય ઉકેલ હોય,તો $\lambda$ એ કોના બરાબર નથી?

ધારો કે $a, b, c, d, e$ એ પાંચ સંખ્યાઓ છે જે નીચેના સમીકરણોનું પાલન કરે છે:
$2a + b + c + d + e = 6$
$a + 2b + c + d + e = 12$
$a + b + 2c + d + e = 24$
$a + b + c + 2d + e = 48$
$a + b + c + d + 2e = 96$
તો $|c|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો સમીકરણોની સંહતિ $3x + y + 4z = 3$,$2x + ay - z = -3$,$x + 2y + z = 4$ ને કોઈ ઉકેલ ન હોય,તો $a$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ એ $2 \times 2$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જ્યાં $\det(A) = 1$. જો સમીકરણ $\det(A - \lambda I_2) = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોય (જ્યાં $I_2$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે),તો:

ધારો કે $[\lambda]$ એ $\lambda$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. $\lambda$ ની એવી તમામ કિંમતોનો ગણ શોધો જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=4$,$3x+2y+5z=3$,$9x+4y+(28+[\lambda])z=[\lambda]$ નો ઉકેલ મળે:

જો $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$ હોય,તો $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = $